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九连环原理 九连环中的数学原理

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九连环作为我国民间玩具,以金属丝制成9个圆环,将圆环套装在横板或各式框架上,并贯以环柄。游戏时,按照一定的程序反复操作,可使9个圆环分别解开,或合而为一。“九连环”现已成为一种国际性的益智游戏,国内外都有学者在研究,拆解九连环的过程中也蕴含着一些数学原理。

九连环在拆解的过程中有两个原理:

1. 如图一所示,九连环中的第一个环,在任何情况下都可上可下;

2. 如图二所示,如果某一个环在上面的环杆上,而它前面所有的环都在下面的环杆上,那么这个环的后一个就可上也可下。这也就是说,如果我们想把第n个环卸下,那么第n-1个环要留在上面的环杆上,而第n-1个环前面的所有环都要在下面的环杆上。

3. 每次只能解下或装上一个环。

由以上可知,如果我们解下第九个环,我们就要把第八个环放到上面的环杆上,而把前七个环放到下面,进而把拆解“九连环”转变为拆解“七连环”。我国古代也有拆解九连环的口诀:“上俩下一个,再动后一个;上一个下俩,再动后一个”。而九连环的拆解方法就涉及到了“数列”这一数学原理:

我们假设环的数量为n,记解开n连环所需的总步数是Sn, 解下每个环的步数为an;根据第二个原理我们可以推出,如若要卸下第n个环,就需要先卸下前n-2个环,其总步数就为Sn-2,这时再需要一步就可以把第n个环解下;而为了解下第n-1个环,还需要把前面的n-2个环套上,装上前n-2个环就需要Sn-2步(因为装上和卸下的步骤正好相反,所以步数相同),所以卸下第n个环需要an=2Sn-2+1步。因此,解开九连环所需要的步数就是一道数列题:“已知S1=1,S2=2,an=2Sn-2+1,求Sn(n≥3)。”

由上图可知,S9=341,即拆解一个九连环需要341步。

熟悉九连环的人解开处于原始状态下的九连环所需的时间大概是6分钟左右,解开11连环则需24分钟左右,以此类推,如要解开17连环就要一昼夜以上,这不仅仅是在解环,也是在挑战自身的极限。这也就是九连环自诞生之后,虽然步骤简单却可以在民间广为流传,盛行不衰的原因吧。

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