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趣谈黄金分割(一)

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    芭蕾舞演员的身段是苗条的,但下半身与身高的比值也只有0.58左右,演员在表演时掂起脚尖,身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了,给人以更为优美的艺术形象.人体最感舒适的温度是23℃(体温),也是正常人体温(37℃)的黄金点(23=37×0.618).雅典有座大理石砌成的神庙,其中有一尊雅典娜神像,由象牙和黄金雕制而成,姿态优美.研究发现,雕像从肚脐到脚底的距离与身高的比值约等于0.618.日常生活中很多显象都与0.618这个其妙的数字有着千丝万缕联系,那么而0.618这个神奇的数字就是“黄金分割数”.

                                                                 正五角星是毕达哥拉斯学派的秘密标志,

                                                               他们以该标志来相互识别.

    首次将这种比例冠以“黄金”美称的是达·芬奇.在“现代会计之父”帕乔利(L.Pacioli)的《神奇的比例》一书中,达·芬奇作了插图,还对各种图形中的黄金分割数作了精彩的描述.比如,将3个黄金矩形对称地互相交叉,每个都与另外两个垂直,则这三个矩形的顶点恰好是一个正二十面体的12个顶点,也是一个正十二面体的各个面的中心.

    稍后的德国著名科学家开普勒对黄金分割也极为着迷,他曾经说道“几何学有两大宝藏,其一为毕氏定理,其二为将一线段分成外内比.前者如黄金,后者如珍珠.”

    最早明确使用“黄金分割”这一名称的是德国数学家M.欧姆(M.Ohm),他是发现电学欧姆定律的欧姆(C.S.Ohm)的弟弟.在著作《纯粹初等数学》(1835年)中,他用“黄金分割”来表述中外比,后来这一称呼就逐渐流行起来.

    所谓将一线段分成“中外比(或称中末比或外内比)”,这是欧几里得在《几何原本》(公元前三世纪前后)里的说法:

    A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.

    这句话的意思大概是:分一线段为二线段,当整体线段比大线段等于大线段比小线段时,则称此线段被分为中外比.

    黄金数(即“中外比”)的计算过程如下:

    PB:AP =AP:AB

    设AB=1,且AP= x,则PB=1-x,代入上面的比例关系式即:解得(舍负)得:(记为ω),取其前三位数字的近似值是0.618称为黄金比,或黄金数(Golden Number).一线段中使长段与短段之比为黄金比的那点,称为把此线段黄金分割.有时也将黄金数称为黄金分割.而一长方形,如长比宽等于黄金数,便称此为黄金长方形.

    其实关于黄金分割的历史,可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他们已经研究过正五边形和正十边形的作图,因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割.公元前4世纪,古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题,并建立起比例理论.而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果,进一步系统论述了黄金分割,成为最早的有关黄金分割的论著.中世纪后,黄金分割被披上神秘的外衣,意大利数学帕乔利称之为神圣比例,并专门为此著书立说.德国天文学家开普勒称之为神圣分割.当时,人们都还是称之为“中外比”,直到19 世纪M·欧姆(M.Ohm)提出了“黄金分割”这个名称.

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