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趣谈黄金分割(二)

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    一、斐波那契数列与黄金分割

    18世纪初,棣美佛(A·de Moivre,1667~1754)在其所著《分析集锦》(Miscellanea Analytica)中,给出了斐波那契数列的一个通项公式(又称“封闭公式”,但它不唯一)是:

    它又称比内公式,这是以最初证明它的法国数学家比内(Binet)命名的,它可以用数学归纳法得以证明(在这里省略证明过程).

    1753年,格拉斯哥大学的数学家西摩松(R.Simson)发现,斐波那契数列中前后两项Fn与Fn+1之比

    )

    是连分数的第n个渐进分数,从而推导出斐波那契数列前后两项之比的极限是:.这提示我们,斐波那契数列是一个与黄金分割数关系异常密切的数列.

    二、黄金分割的尺规作图

    黄金分割的尺规作图法最初是由古希腊的柏拉图派学者欧多克斯给出的:

    (1) 过已知线段AB的端点B,作BC⊥AB,且使

    (2) 连结AC,以C为圆心,CB为半径作圆弧交AC于D;

    (3) 以A为圆心,AD为半径作圆弧交AB于P,则点P分AB成黄金分割,点P是线段AB的黄金分割点.

    简证如下:

    设AB=a,则BC=,由勾股定理可求得:

    于是AD=AC-DC=,亦即点P分AB为黄金分割.

    三、黄金分割在各领域中的应用

    在数学中,如果从黄金矩形中切掉一个正方形(边长等于原矩形的宽),剩下的部分仍是黄金矩形.依此继续切割,就会得到越来越小的黄金矩形.黄金矩形被这样切割后,矩形的一部分顶点恰好落在一条螺线上.斐波那契数列与此相似,你可以用边长1的正方形做反向操作.加上一个同样的正方形,得到一个新的矩形.若不断在长边上添加正方形,新产生的长边就会遵循斐波那契数列,每一个比前一个的形状更为接近黄金矩形.

    (把黄金矩形不断切割后,矩形的一部分顶点恰好落在一条螺线上.)

    在建筑学上的应用:例如:巴黎圣母院的正立面的宽度和高度之比为0.618.

    在植物中的应用:例如叶子中的黄金分割:主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618.

    在日常生活中的应用:例如最美纸扇(张开角是140度的纸扇最美);又如最好吃的馒头(发酵粉的量的10倍与面粉的比值是0.618 ),等等.

    在音乐中的应用:例如小提琴(柄和琴身符合黃金比例);又如二胡演奏中,“千金”分弦的比符合0.618 .

    在动物界,形体优美的动物形体,如马,骡、狮、虎、豹、犬等,凡看上去健美的,其身体部分长与宽的比例也大体上接近与黄金分割如:蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618.

    其它应用:打开地图,你会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右.特别是红茶中的极品“祁红”,产地在安徽的祁门,也恰好在此纬度上.这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方.奇石异峰,名川秀水的黄山,庐山,九寨沟等等.衔远山,吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上.

    看来,黄金分割无论是在生活还是生产,科学还是艺术,都有着非常广泛的应用,这让我们充分领略了数学与生活是息息相关的.

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