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平面直角坐标系

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观看电影时,观众通过入场券上的几排几号很快能找到自己的座位.如果把“m排n号”记作(m,n),那么它与观影台上的某个位置是一一对应的关系。可是,如果一个同学站在大操场上,我们该怎样确定他的位置呢?受观影台的启发,我们在操场上选一个点为基准,画一些纵、横线交错的线,标注每条线的序号,就可以确定这名同学的位置。

最早用这种方法的是法国数学家笛卡尔(Descartes 1596—1650,哲学家、数学家、物理学家)。有一天,笛卡尔生病卧床,但他头脑一直在反复思考一个问题:几何图形是直观的,而代数方程则比较抽象,能不能用几何图形来表示方程呢?通过什么样的办法才能把“点”和“数”联系起来?突然,他看见屋顶角上的一只蜘蛛,拉着丝垂了下来,一会儿,蜘蛛又顺着丝爬上去,在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”,使笛卡尔思路豁然开朗。他想,可以把蜘蛛看做一个点,它在屋子里可以上、下、左、右运动,那么能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢?他又想,屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条直线,如果把地面上的墙角作为起点,把交出来的三条线作为三个数轴,那么空间中任意一点的位置,都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示。反过来,任意给一组三个有顺序的数,例如3、2、1,也可以用空间中的一个点来表示它们。同样,用一组数(a, b)可以表示平面上的一个点,平面上的一个点也可以用一组两个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下,笛卡尔于1637年创建了直角坐标系。

在平面内画两条互相垂直,并且有公共原点的数轴,简称直角坐标系。平面直角坐标系有两个坐标轴,其中横轴为X轴,取向右方向为正方向;纵轴为Y轴,取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面,两坐标轴的公共点叫做平面直角坐标系的原点。X轴Y轴将坐标平面分成了四个部分称作四个象限(quadrant),右上方的部分叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界,横轴、纵轴上的点及原点不在任何一个象限内。一般情况下,x轴y轴取相同的单位长度,但在特殊的情况下,也可以取不同的单位长度。

在直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序数对(即点的坐标(coordinate))与它对应;反过来,对于任意一个有序数对,都有平面上唯一的一点与它对应。

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