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有理数和无理数,谁更多?

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有理数是指一个整数a和一个非零整数b的比,即一个比值而非“有道理”的数。那么,有理数有多少呢?约公元前580年至公元前500年间,毕达哥拉斯学派认为“万物皆为数”,即宇宙的一切现象都能用有理数来表示,可见有理数之多。然而,该学派的弟子希伯索斯的惊人发现,第一次向人们揭示了有理数的缺陷,证明了它不能同连续的无限直线等同看待,有理数并没有布满数轴上的点,在数轴上存在着不能用有理数表示的“空隙”,而这些“空隙”就是无理数。那么无理数有多少?与有理数比较,谁更多?下面从三个方面进行比较:

一、直观感觉比较

常见的无理数有:①非完全平方数的平方根,如,···;②圆周率;③自然对数的底数e。事实上,我们还可以构造更多的无理数,如(其中\{0}),(其中)等等。直觉告诉我们,无理数要比有理数多,而且多很多。

二、通过基数比较

有理数在实数中是处处稠密的,即在数轴上任何小区间中都有有理数存在(并且有无穷多个)。尽管如此,有理数集是可列集,即全体有理数还只不过是一个和那样稀疏分布着的整数全体成为1—1对应的可列集,基数为N0。我们知道,在众多的无限数集中,最小的基数便是N0,而实数集具有连续基数c,可见无理数集合也有连续基数c。而c和N0的关系可由Cantor-Bernstein定理:

来说明。显然,从数量角度,无理数要比有理数多得多。

那么,无理数比有理数多多少呢?下面从测度角度进行说明。

三、通过测度比较

我们以闭区间[0,1]中的有理数和无理数为例。显然该区间的长度为1,即[0,1]中的有理数和无理数构成的区间长度的总和为1。而[0,1]中的有理数的Lebesgue外测度为0,那么该区间的无理数的Lebesgue外测度为1。从长度角度,无理数比有理数多的程度由此可见。

通过三个方面的比较,我们知道无理数比有理数多。而且通过衡量闭区间[0,1]中的有理数和无理数的Lebesgue外测度,使我们更形象地了解到无理数比有理数多的程度。

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