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向日葵的数学之美

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每到仲夏,各地的向日葵就逐渐进入花期,人们对向日葵的喜爱是发自内心的:很多人都亲手种过向日葵,几乎所有的人都吃过葵花籽,近年来,大面积的向日葵种植更是在全国各地铺开,因为它能给人带来喜悦和对幸福的憧憬。

可是,向日葵的花朵中还蕴藏着数学之美,你知道吗?当你嗑瓜子的时候,你还能想起瓜子是怎样在那个大大的黄色圆盘上排列的吗?

向日葵(Helianthus annuus)也叫葵花、朝阳花、转日莲等,是一种原产北美洲的经济作物,它的种子可以榨油,也可以直接食用,枝叶可以作为饲料喂牲口。

在讲向日葵的数学之美,先请大家复习两个数学概念。

第一个叫斐波那契数列,也叫兔子数列,它是这样的:

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……

还记得数学课上是怎么讲的吗?对,数列中每项是它前两项的和。

第二个概念叫黄金分割,即0.618。

请仔细观察兔子数列,如果用前一项除以后一项,即:

1÷1=1

1÷2=0.5

2÷3=0.666...

3÷5=0.5

5÷8=0.625

……

55÷89=0.617977…

……

144÷233=0.618025…

……

46368÷75025=0.6180339886…

……

不难发现,这个前一项除以后一项的值越来越逼近黄金分割0.618。

好,我们再来观察向日葵,如下图:

图中,逆时针的绿色螺线共有13条,顺时针的蓝色螺线共有21条,13和21正是斐波那契数列中的两项。较大向日葵的逆顺螺线数目可以是(89,144),更大的甚至可以达到(144,233)。

有兴趣的同学可以数一数下面这个大圆盘。

后来,数学家们还发现向日葵圆盘中螺线的发散角是137.5º。我们知道,圆盘一周是360º,而360º-137.5º=222.5º,137.5º÷222.5º≈0.618,又是一个黄金分割。

数学家在电脑上用圆点来代替葵花种子进行了模拟实验,如果发散角大于或者小于137.5º,圆点间都会出现间隙,因此,如果要使圆点排列没有间隙,发散角就必须是137.5º的黄金角,如下图所示:

对于向日葵来说,在有限的空间里开出足够多的花并结出足够多的种子是第一要务,在漫长的进化过程中,自然选择让向日葵有了可以用黄金分割来解释的数学之美。

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