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神奇的斐波那契数列之“斐波那契” 数列的由来

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在小说《达芬奇密码》中,作者丹·布朗描述了被谋杀的馆长雅克·索尼埃在临死前留下了由8个数字组成的序列“13-3-2-21-1-1-8-5”作为关乎他命运的线索。密码破译者苏菲·内芙凭借良好的数学积淀重新排列了这8个数,从而了解了它所蕴含的意义。

现在就让我们来认识一下这个神奇的数列吧!

13世纪初,莱昂纳多的父亲Guilielmo(威廉),外号Bonacci(意即“好、自然”或“简单”).因此莱昂纳多就得到了外号斐波那契 (Fibonacci,意即filius Bonacci,Bonacci之子),后来发现与15世纪的一名大艺术家同名,为了区别于是就用了他的外号斐波那契更换姓名。1202年,27岁的他将其所学写进《计算之书》(Liber Abaci).这本书通过在记帐、重量计算、利息、汇率和其他的应用,显示了新的数字系统的实用价值.这本书大大影响了欧洲人的思想.这本书在1228年的修订本中记载了很多有趣的问题。1250年斐波那契去世,以后的几百年中,由于连年战乱,欧洲数学家没有社会环境研究数学,斐波那契的这部不朽著作也暂时受到了冷落。直到300年后人们才开始关注他遗留的著作,并对书中一个貌似平凡,背后却隐含着一个伟大世界的“兔子繁殖问题”产生了浓厚的兴趣。

斐波那契在《计算之书》中提出了一个有趣的兔子问题:若一对成年兔子每个月恰好生下一对小兔子(一雌一雄)。在年初时,只有一对小兔子。在第一个月结束时,他们成长为成年兔子,并且第二个月结束时,这对成年兔子将生下一对小兔子。这种成长与繁殖的过程会一直持续下去,并假设生下的小兔子都不会死,那么一年之后共可有多少对小兔子?

繁殖的过程可以通过一棵“家族树”来表示:

让我们来推算一下在第五个月结束时兔子的总数:

第1个月:只有1对兔子;

第2个月:兔子没有长成,仍然只有1对兔子;

第3个月:这对兔子生了1对小兔子,这时共有2对小兔子;

第4个月:老兔子又生了1对小兔子,而上个月出生的兔子还未成熟,这时共有3对兔子;

第5个月:这时已有2对兔子可以生殖,于是生了2对兔子,这时共有5对兔子;

如此推算下去,我们不难得出下面的结果(如下表):

从表中可知,一年后(第13个月时)共有233对兔子。这就是说,在短短的一年时间,一对兔子就能自由地繁殖成233对兔子,这是多么惊人的繁衍速度啊!从这个规律看,难怪野兔会成灾了!

如此往复继续下去,是否要一直这样麻烦地推算下去呢?不妨让我们仔细寻找一下这些数字之间的关系吧:

即:“第n个月的兔子总数=第(n-1)个月的兔子总数+第(n-2)个月的兔子总数”

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